Ejercicios

Ejercicio 2:
2.1) Cuáles son los elementos de:
a) El conjunto de los días de la semana
b) El conjunto de las estaciones del año
c) Los números impares menores de 11
d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20
e) Los números primos menores de 15
2.2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 pertenece { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )
b) y  pertenece{ o, p, q, x } ( )
c) x pertenece { o, p, q, y } ( )
d) Perú  pertenece{ países de Europa } ( )
e) Amazonas pertenece { ríos de América } ( )
2.3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x / x es día de la semana} . . .. .
b) B = { vocales de la palabra vals} . . .  .
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}  . . . .
d) D = { x / x es un habitante de la luna}  . . . .
e) E = { x  N / x < 15} . . . ..
f) F = { x  N y 5 < x < 5 } . . . .
g) G = { x  N y x > 15} . . . .
h) H = { x  N y x = x} . . . .
i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} . . . .
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } . . . .

1. Sea, Ω={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  y A={0,2, 4, 6, 8}, B={1, 3, 5, 7, 9}, C={2, 3, 4, 5} y    D={1, 6, 7}.
Determine y exprese en diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
a. A∪C       b. A∩B  c. C complemento
d. ( C complemento ∩B) ∪B
2. Sea A ⊂ B.  Completar las siguientes igualdades:
a. A∪B = …  b. A∩B = …  c. A−B = …
3. En un Instituto universitario hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francés e inglés, hay 16 que  estudian francés, 27 que estudian inglés y 7 no estudian idiomas.  Halle el número de estudiantes que estudian en el instituto.  Sugerencia: Represente los conjuntos en un diagrama de Venn.
4. Un conjunto formado por 250 personas presentó una prueba formada por tres preguntas.  Luego de la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: 27 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda  pregunta,   32 respondieron correctamente sólo la primera y la tercera pregunta,  15 respondieron correctamente sólo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres.  Con la ayuda del diagrama de Venn calcule el número de personas que no respondió correctamente ninguna pregunta.
5. El departamento de estadística de una empresa realiza una encuesta entre 250 empleados con el fin de adoptar un plan de pensiones diseñado por el departamento.  Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
TRABAJADORES  
                     
Respuestas  Capataces    Eventuales   Supernumerarios  fijos
A favor              6                 78                     42             43
En contra           3                 32                     28             10
Sin opinión        1                   0                       5                2
Utilizando las siguientes notaciones:
S: Conjunto de empleados que contestaron a favor
N: Conjunto de empleados que contestaron en contra
C: Conjunto de capataces
D: Conjunto de trabajadores eventuales
T: Conjunto de trabajadores supernumerarios
F: Conjunto de trabajadores fijos
Determinar el número de empleados de:
a. S          b. C          c. D      d. T       e. C∪D
f. S∩D     g. (D∪T)∩N    h. N−(D∪T)


8. Escriba en notación por comprensión los siguientes conjuntos:
a. El conjunto de los días de la semana
b. El conjunto de los números reales mayores que cuatro
c. El conjunto consistente de pares ordenados de números reales, donde el  primer componente es dos veces el segundo componente
d. Diga si los conjuntos anteriores son o no contables. Justifique su respuesta
9. ¿El conjunto de los enteros impares divisibles por 4 puede ser representado en general por que conjunto?

Ejercicios

               

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.

1. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.
2. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.
3. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.
4. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.
5. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.
6. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.
7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.
9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?
El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.
3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.
2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28 personas.
3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.
4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas.
5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.
6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas.
7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18 personas.
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.
9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.
10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.
11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona.
12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas.
13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas.
14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas.
15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas.
16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas.
17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.
18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.

4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5
II) Motocicleta: 38
III) No gustan del automóvil: 9
IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3
V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
VI) No gustan de la bicicleta: 72
VII) Ninguna de las tres cosas: 1
VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?


Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.


Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:
Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:


Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:


Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:


Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:


Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

1. A 99 personas.
2. A ninguna.
3. A 46 personas.
4. A 10 personas.
5. a 14 personas.

ASISTENCIA A CLASES

Asistencia     

Cédula             1      2

14546136         x      x
14761320         x
16706994         x      x

17146438         x      x
18004285                 x
18004340         x      x
19194077         x      x
19684471         x      x
19994754         x      x
20007551         x

21134612         x      x
22354431         x      x

22648379         x      x
22704447         x      x

22756537         x      x

22761153         x

22780025         x      x

22900756         x      x

22908901         x      x

23192456         x      x
23198771         x      x

23607379         x      x

23611350         x      x

23615424         x      x

23695234         x      x
23712871         x      x

23713141                 x
23798160         x      x

23798348         x      x

24057301         x      x
24122689                 x
24178759         x      x

24216356         x      x
24217334         x      x

24276353         x      x

24272900         x      x

Participaciones en clases:

22756537                 x
22780025                 x
23198771                 x
23695234                 x
24276353                 x

1: 14-02-2013           2: 21-02-2013

Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente,
 un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir,
una porción de recta entre dos valores dados.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

•  o bien 
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

[editar]Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: 
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades

[editar]Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notacion  o bien  indicamos.

En notación conjuntista:

• Y con la notación  o bien ,

En notación conjuntista:

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|,
es el mismo número a cuando es positivo o cero,
 y opuesto de a, si a esnegativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2 )

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞, 2 )  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b),
se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Videos de Teorías de Conjuntos

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Plan de evaluación

Tres (3) evaluaciones presenciales      20% c/u

• Fecha Primera Evaluación: 28/02/2013

Dos (2) trabajos escritos                      20% c/u

                                                         

Contenido programático

Unidad Curricular: Pre cálculo

Unidad I Teoría de Conjuntos.-

Conjunto: Extensión y comprensión. Relación de inclusión. Conjunto de partes. Unión de conjuntos. Propiedades. Intersección, Propiedades.  Complemento, propiedades. Diferencia de conjunto. Diferenciar entre unión, intersección y complemento. Propiedades.

Unidad II Teoria de Conjuntos Continuación .-

Sistemático. Grupo Concepto de anillo. Cuerpo y subcuerpo Espacio vectorial. Subespacio  vectorial

Unidad III   Estructuras Algebraicas

Operaciones con números naturales.  Números pares e impares.  Números primos.  Máximo común divisor, Máximo común múltiplo.

Unidad IV. Conjunto de los números naturales y enteros

 Operaciones con números racionales o  Ecuaciones.

Unidad V. Conjunto de los números irracionales

Demostrar que la raíz cuadrada de un número primo es un número irracional.  Racionalizar denominadores, Potenciación.  Identificar un número real.  Determinar el valor absoluto de un número real.  Simplificar potencias de números reales.  Aplicar el valor absoluto en la solución de ciertas ecuaciones reales

Unidad VI. Conjunto de los números reales.

Sistema cartesiano de Representación.  Relaciones reales.  Funciones polinomiales y racionales.  Funciones exponenciales y logarítmicas.